Общая картина думаю понятна по схеме.
Робот включается нажатием кнопки, которая открывает мосфет. МК сразу подхватывает его и при длительном бездействии (принцип Watchdog) или другого условия на затвор мосфета подается 0. В следствии мосфет закрыт, питание отключено.
Как это правильно организовать? Какой мосфет подобрать? Может это "велосипед"?

у Watchdog задача следить за фактом работы программы, и если программа повисла и не сбросила вовремя Watchdog - тогда Watchdog сбрасывает контроллер.
Я правильно понимаю, что вам нужен внешний Sleep (контроллер поработал, всё сделал, новых заданий не получил и сам себе питание рубанул)?

1) для начала определитесь, питание будете рубить или землю (на схеме у вас что-то страшное)
2) у MOSFET четыре основных параметра - максимальный ток стока, открывающее напряжение, ёмкость затвора и сопротивление в открытом состоянии.
посмотрите IRML2402 и IRFR5305
3) есть еще интегральные ключи: MOSFET с обвязкой, например BTS6143D.

Именно так.

Для меня не принципиально. Надо как лучше

Максимально возможный ток у меня 2А. Подойдёт ли FS8205A?

да, по току потянет.

MOSFET работает так: напряжение между затвором и подложкой оттягивает свободные электроны и между стоком и истоком (направление зависит от типа канала) начинает течь ток. Обычно подложка присоединена к истоку.
По идее - этого достаточно для построения схемы.

Могу предложить такое решение.
Это аналог релейной схемы с автоблокировкой.
При нажатии на кнопку открывается VT1 и через R1 напряжение подаётся на затвор VT2.
VT2 открывается и продолжает удерживать открытым VT1 после размыкания кнопки.
Для того, чтобы отключить ключ, нужно подать на вход OFF низкий логический уровень. Соответственно, сразу после включения, порт микроконтроллера, соединённый с OFF должен быть установлен в лог.1 или Z-состояние.